FACTORIZAR SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Definición.- Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

 

SUMA DE CUBOS PERFECTOS

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a b

En una suma de cubos perfectos.

Procedimiento para factorizar

1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.
2) Se forma un producto de dos factores.
3) Los factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio.
4) Los factores trinomios se determinan así:
El cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo 1: Factorizar a3 + 1

La raíz cúbica de : a3 es a

La raíz cúbica de : 1 es 1

Según procedimiento a3 + 1 = (a + 1)[(a)2 - (a)(1) + (1)2]
Luego a3 + 1 = (a + 1)(a2 - a + 1)

Ejemplo 2: Factorizar 8x3 + 27

La raíz cúbica de : 8x3 es 2x

La raíz cúbica de : 27 es 3

Según procedimiento 8x3 + 27 = (2x + 3)[(2x)2 - (2x)(3) + (3)2]
Luego 8x3 + 27 = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9)

Ejemplo 3: Factorizar 64x6y3 + 125z12w15

La raíz cúbica de : 64x6y3 es 4x2y

La raíz cúbica de : 125z12w15 es 5z4w5

Según procedimiento 64x6y3 + 125z12w15 = (4x2y + 5z4w5)[(4x2y)2 - (4x2y)(5z4w5) + (5z4w5)2]
Luego 64x6y3 + 125z12w15 = (4x2y + 5z4w5)(16x4y2 - 20x2yz4w5 + 25z8w10)

DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
 
a   b

En una diferencia de cubos perfectos.

Procedimiento para factorizar

1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.
2) Se forma un producto de dos factores.
3) Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio.
4) Los factores trinomios se determinan así:
  El cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo 1: Factorizar y3 - 8

La raíz cúbica de : y3 es y

La raíz cúbica de : 8 es 2

Según procedimiento y3 - 8 = (y - 2)[(y)2 + (y)(2) + (2)2]
Luego y3 - 8 = (y - 2)(a2 + 2y + 4)

Ejemplo 2: Factorizar 64x3 - 1000

La raíz cúbica de : 64x3 es 4x

La raíz cúbica de : 1000 es 10

Según procedimiento 64x3 - 1000 = (4x - 10)[(4x)2 + (4x)(10) + (10)2]
Luego 64x3 - 1000 = (4x - 10)(16x2 + 40x + 100)

Ejemplo 3: Factorizar 216x9y12z21 - 343m30w18a

La raíz cúbica de : 216x9y12z21 es 6x3y4z7

La raíz cúbica de : 343m30w18a es 7m10w6a

Según procedimiento:

216x9y12z21 - 343m30w18a = (6x3y4z7 - 7m10w6a)[(6x3y4z7)2 + (6x3y4z7)(7m10w6a) + (7m10w6a)2]
Luego 216x9y12z21 - 343m30w18a = (6x3y4z7 - 7m10w6a)(36x6y8z14 + 42x3y4z7m10w6a + 49m20w12a)

 

FORMULA DE SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Suma de cubos perfectos.
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
 
a   b
 
Diferencia de cubos perfectos.
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
 
a   b
 

 

EJERCICIOS

PREGUNTAS
01) 1 + x3
02) x3 + 1000
03) 27a3 + 125b3
04) 64x3y6 + 216z9
05) 512x6a + 729y3b
06) 1/8 + 125x3
07) 1/27 + x6/216
08) a6/343 + 8b12/1000
09) 1000 - m3
10) 8a3 - 64b3
11) 125x9y18 - 512z27
12) 216x12 - 729y21a
13) 343x3a - 512y6b
14) (x + 4)3 - 8
15) (3a + 2b)3 - (2a + 2b)3
16) 125 - (3a2 + 1)3
17) 27(x - y)3 - 8(x + y)3
18) 0.027x3 - 0.008y6
19) 8/125x6 - 1000z9/64y12
20) 64(a - b)3 + 27(a + b)3

 

EVALUACIÓN
 
1 ¿Cuál es el resultado de:? 
 
x3 + 125 
=
 
 
a)
 
x3 + 125
 =
(x + 5) (x2 - 5x + 25)
 b )
 
 x3 + 125
= 
 (x + 5) (x2 - 10x + 25)
c )
 
x3 + 125 
=
(x + 25) (x2 - 25x + 25)